Пределы
:?: Может кто-нибудь подскажет алгоритм вычисления пределов последовательности, функции в точке?
А нет такого алгоритма в общем случае. Есть куча критериев сходимости/несходимости. Открывай любой учебник по мат.анализу, читай 
Если мне мой склероз не изменяет, то для функции необходимо и достаточно совпадения левого и правого пределов в этой точке.
Т.е. берём некую +/- епсилон окрестность точки и начинаем вычислять значения функции двигаясь с лева (т.е. от -епсилон) и справа (от + епсилон) к этой точке c некоторым маленьким шагом. Если значения функции слева и справа от точки не отличаются на какую-то заранее определённую дельту, то предел существует. Мысленно проверил на abs(1/x), предел в нуле - бесконечность
Т.е. берём некую +/- епсилон окрестность точки и начинаем вычислять значения функции двигаясь с лева (т.е. от -епсилон) и справа (от + епсилон) к этой точке c некоторым маленьким шагом. Если значения функции слева и справа от точки не отличаются на какую-то заранее определённую дельту, то предел существует. Мысленно проверил на abs(1/x), предел в нуле - бесконечность
Даже самый дурацкий замысел можно воплотить мастерски
Вопрос - сколько раз нужно вычислить значение, приближаясь к точке, чтобы гарантировать сходимость? А если мы чуть-чуть не дойдем до локального всплеска?
Все эти рассуждения работают для 'хороших' функций. А попробуй-ка найти предел sin(1/x) в 0
А если мы чуть-чуть не дойдем до локального всплеска? Все эти рассуждения работают для 'хороших' функций. А попробуй-ка найти предел sin(1/x) в 0
Eugie, так его и нет. При движении справа и слева к нулю разница между значениями функции и слева и справа будет большая, а разница между левыми и правыми значениями будет ещё больше. Даже если взять в пример cos(1/x), где значения функции, вычисляемые в равноотстоящих от нуля точках, будут совпадать, но от предыдущих точек они отличаться будут сильно.
Дык я ещё по ходу дела вспомнил про великого дядьку Лопиталя, который доказал, что если существует предел отношений производных двух функций, то существует и предел отношений этих функций. Опять же не всё шоколадно, т.к. производные могут быть не определены, а предел тем не менее может существовать... в общем, я клоню к тому, что всякие математические програмные комплексы с пределами умеют разбираться на раз. Так что рекомендую обратиться к самому первому топику этого раздела, где куратор DeejayC оставил кучу ссылок. Наверняка что-то подходящее там выудить можно.
Дык я ещё по ходу дела вспомнил про великого дядьку Лопиталя, который доказал, что если существует предел отношений производных двух функций, то существует и предел отношений этих функций. Опять же не всё шоколадно, т.к. производные могут быть не определены, а предел тем не менее может существовать... в общем, я клоню к тому, что всякие математические програмные комплексы с пределами умеют разбираться на раз. Так что рекомендую обратиться к самому первому топику этого раздела, где куратор DeejayC оставил кучу ссылок. Наверняка что-то подходящее там выудить можно.
Даже самый дурацкий замысел можно воплотить мастерски
Это ты знаешь, что его нет. А попробуй докажи это численно Возьмем, например, последовательность x = 1/(Pi*n) [для sin] - получим на выходе 0,0,0... - ура, сходится к 0! А теперь возьмем х = 1/Pi*(n+0.5) - получим 1, 1, 1... - сходится к 1! А теперь попробуем x = 1/(n*n) - ??? Ну и так далее. При любой численной реализации всегда имеется некий произвол - выбора точности, размещения узлов и тд и тп. А решение от этого произвола еще как зависит. Собственно, вся наука численных методов посвящена уменьшению зависимости от конкретики реализации этих методов.
Уф, что-то меня понесло :0) Ладно, AiK, я ушел, отложим дискуссию
Возьмем, например, последовательность x = 1/(Pi*n) [для sin] - получим на выходе 0,0,0... - ура, сходится к 0! А теперь возьмем х = 1/Pi*(n+0.5) - получим 1, 1, 1... - сходится к 1! А теперь попробуем x = 1/(n*n) - ??? Ну и так далее. При любой численной реализации всегда имеется некий произвол - выбора точности, размещения узлов и тд и тп. А решение от этого произвола еще как зависит. Собственно, вся наука численных методов посвящена уменьшению зависимости от конкретики реализации этих методов.Уф, что-то меня понесло :0) Ладно, AiK, я ушел, отложим дискуссию
Eugie, ты понятие епсилон окрестности очень [произ]вольно трактуешь Я согласен с тем, что всегда можно подобрать такую функцию, которая не подойдёт под конкретный численный алгоритм. Но, если выбирать значения для х в пределах этой окрестности случайным образом, то вероятность обмануть алгоритм будет минимальной.
Я согласен с тем, что всегда можно подобрать такую функцию, которая не подойдёт под конкретный численный алгоритм. Но, если выбирать значения для х в пределах этой окрестности случайным образом, то вероятность обмануть алгоритм будет минимальной.Даже самый дурацкий замысел можно воплотить мастерски
AiK, а где я трактую понятие окрестности?
В общем-то, я только утверждаю, что между аналитической математикой и численной есть немалая дистанция. И многие аналитические критерии в численных методах не работают, если их понимать буквально. То же понятие предела в формулировке Коши использует такие слова как 'всякий', 'любой' или 'существует'. Короче, является неконструктивным. Или куча теорем существования безо всяких идей как его реализовать. А численные методы по своей сути оперируют конечными величинами и за конечное число шагов. Поэтому и состоялась вычислительная математика как самостоятельная наука.
В общем-то, я только утверждаю, что между аналитической математикой и численной есть немалая дистанция. И многие аналитические критерии в численных методах не работают, если их понимать буквально. То же понятие предела в формулировке Коши использует такие слова как 'всякий', 'любой' или 'существует'. Короче, является неконструктивным. Или куча теорем существования безо всяких идей как его реализовать. А численные методы по своей сути оперируют конечными величинами и за конечное число шагов. Поэтому и состоялась вычислительная математика как самостоятельная наука.